Kosmiczna liczba Pi. Jak marcowa solenizantka pomaga nam zdobyć Układ Słoneczny?

3,141592653589 i tak dalej… Każdy z nas zna z tego ciągu przynajmniej trzy pierwsze cyfry i rozdzielający je przecinek. Liczba Pi bez wątpienia jest najbardziej znaną ze wszystkich stałych matematycznych. Dorobiła się nawet swojego dnia, który nieprzypadkowo przypada na 14 marca. Z tej okazji postanowiłem przybliżyć Wam zastosowanie liczby Pi w kosmosie.

Co to jest liczba Pi?

Zanim polecimy razem z naszą bohaterką na orbitę i dalej, wyjaśnijmy czym liczba Pi w ogóle jest. Stałe matematyczne to liczby mające precyzyjną definicję i ułatwiające rozwiązywanie ważnych problemów matematycznych. Wyjaśnienie, skąd wzięła, jest banalne. To stosunek obwodu koła do długości jego średnicy. Jednak jej odpowiednio precyzyjne wyliczenie (pamiętajcie, że to liczba niewymierna) tak proste już nie było.

Ponieważ nasza cywilizacja bez koła nie byłaby w stanie się rozwinąć, nie dziwi, że pierwsze próby wyznaczenia liczby Pi notujemy już w starożytności. Jako pierwsi próbowali „stworzyć” tę stałą Babilończycy 4000 lat temu. Przy obliczeniach obwodu koła używali początkowo mocno nieprecyzyjnej liczby 3. Można się domyślać, że do jej wyznaczenia nie użyto matematyki, tylko patyków i sznurka.

Już w tamtych czasach ta niedokładność była zauważalna, ale z biegiem czasu precyzja pomiaru liczby Pi rosła. Klucz do naprawdę precyzyjnego określenia jej wielkości wręczył nam pan od „Eureki” – Archimedes. Jak na łebskiego gościa przystało, zastąpił pomiary i proste wyliczenia geometrią i bardziej wyrafinowaną matematyką.

Dzięki zabawom z wielokątami wpisanymi i opisanymi na okręgu ustalił, że wartość Pi to nie mniej niż 223/71 (3,1408) i nie więcej niż 22/7 (3,1428). Wraz z rozwojem naszej cywilizacji precyzowaliśmy dalej jej wielkość, a w XVIII wieku nadaliśmy jej symbol π i funkcjonującą do dziś kultową nazwę. Teraz wróćmy już do teraźniejszości i spójrzmy w górę.

Liczba Pi w kosmosie

Zastosowanie liczby Pi w astronomii i przemyśle kosmicznym to temat rzeka. Stała, będąca podstawą do obliczania podstawowych cech koła, kuli i ich krewniaków i pochodnych, chcąc nie chcąc, musi być jedną z najbardziej podstawowych w tych dziedzinach. Jeśli spojrzymy w niebo, bardzo wiele rzeczy, które tam zobaczymy, będzie do nich zbliżone.

Orbity planet to elipsy, a planety to elipsoidy obrotowe. Do obliczania ich parametrów i cech prawie zawsze używa się stałej Archimedesa (jak inaczej nazywana jest liczba Pi). Nawet jeśli większość z nich odbiega, z różnych przyczyn, od idealnego wzorca, do pewnego poziomu odchyleń jest to pomijane, a powyżej niego i tak musimy korzystać z korekt wykorzystujących jako punkt odniesienia figury idealne.

Przeczytaj też: Diamenty z plastiku? Nowe odkrycia naukowe

A teraz zobaczcie kilka przykładów z życia wziętych. Jeden z najważniejszych manewrów orbitalnych badającej Saturna sondy Cassini wykorzystywał asystę grawitacyjną Tytana. Ze względu na charakter obliczeń potrzebnych do jego zaplanowania nadano mu nawet nazwę „Pi Transfer”.

3,14 było też jednym z kluczy do zaprojektowania i kontroli polarnych orbit kołowych wokół asteroidy Westa i planety karłowatej Ceres. To dzięki nim sonda Dawn kilka lat temu zmapowała dokładnie ich powierzchnię.

3,14, egzoplanety i księżycowe oceany

Naszej matematycznej celebrytki używamy też przy ustalaniu parametrów świeżo odkrywanych egzoplanet. Jeśli trafimy na taki obiekt metodą pomiaru zmiany jasności gwiazdy w czasie tranzytu planety, musimy zmierzyć procent jego spadku. Zestawiając go z polem koła wyznaczanego przez tarczę gwiazdy, możemy wyliczyć rozmiar odległego świata. Z kolei czas pomiędzy transferami oraz trzecie prawo Keplera, w którym Pi odgrywa ważną rolę, pozwoli nam oszacować jej orbitę.

Jeśli próbujemy przewidzieć, ile wody mogą zawierać ukryte pod powierzchnią lodowych księżyców oceany, punktem wyjścia do tego będzie ocena grubości ich lodowej pokrywy oraz średnicy skalistego jądra. To oczywiście niedokładne estymacje, bazujące na całej masie fizycznych i chemicznych poszlak. Jednak nawet do wyliczenia bardzo szerokich „widełek” Pi jest niezbędna.

Liczba Pi na platformie startowej

Międzynarodowy dzień liczby Pi z pewnością obchodzą też wszystkie firmy rakietowe. Jeśli spojrzymy na budowę tych pojazdów, to kule, walce, toroidy są tam praktycznie wszędzie. Projektanci rakiet używają liczby Pi nie tylko przy tworzeniu poszczególnych stopni rakiet, ale też, a może i przede wszystkim, w projektowaniu jej systemów.

Ile paliwa trafi do silnika? Nie dowiemy się tego bez wyliczenia przekrojów poprzecznych dziesiątków przewodów i kanałów paliwowych. W silnikach konstruktorzy muszą odpowiednio dobrać proporcje komór spalania, gardzieli i dysz silników. Wielkość rakiety zależy od ilości paliwa potrzebnego do realizacji stawianych przed nią zadań, a Pi podpowiada, jakiej wielkości zbiorników będziemy potrzebować.

Także komunikacja nie obędzie się bez pomocy Pi. Chcąc efektywnie „rozmawiać” z naszymi wysłanymi w kosmos urządzeniami, umiejscowienie anten Deep Space Network musieliśmy wymyślić, biorąc pod uwagę kształt i ruch obrotowy Ziemi. Zarówno anteny odbiorczo-nadawcze sond, jak i te naziemne są najczęściej paraboliczne. Wiele parametrów, na przykład zysk energetyczny anteny, czy jego zależność od szerokości wiązki wylicza się właśnie z użyciem Pi.

Także na innych ciałach niebieskich Pi ma swoją rolę do odegrania. Nawigacja i system jezdny łazików marsjańskich uzależnione są między innymi od danych zbieranych z ich kół. Łazik musi wiedzieć, ile obrotów te ostatnie wykonały, i zestawia to z informacjami dostarczanymi przez inercyjne urządzenie pomiarowe oraz kamery nawigacyjne obserwujące otoczenie pojazdu. Jeśli pojawią się rozbieżności, możemy na przykład wykryć, czy pojazd się nam nie zakopał.

Pi uczy przez zabawę

Nic dziwnego, że NASA świętuje każdy dzień liczby Pi, honorując 3,14 specjalnymi stronami, plakatami i quizami. Wykorzystuje tę liczbę w zabawowy sposób, aby pokazać, szczególnie najmłodszym, że ta stała jest bardzo efektywną nauczycielką, nie tylko matematyki. Warto wziąć z NASA przykład i Międzynarodowy Dzień Liczby Pi wykorzystać edukacyjnie, szczególnie jeśli ma się dzieci.

Na podobnej zasadzie Pi wykorzystano też, z dużym sukcesem, w naszym kraju. Sam należę do pokolenia, które podstaw matematyki uczyła para kosmitów z Matplanety. Choć trzeba przyznać, że scenarzystka tej serii do Pi miała chyba jakąś szkolną zadrę, bardziej sympatyczną i zaradną czyniąc Sigmę, za którą kryje się przecież tylko prozaiczna suma.

Źródła informacji:

• https://www.scientificamerican.com/article/what-is-pi-and-how-did-it-originate/#
• https://arxiv.org/pdf/2008.07995.pdf
• https://www.jpl.nasa.gov/edu/learn/list/oh-the-places-we-go-18-ways-nasa-uses-pi
• https://www.jpl.nasa.gov/edu/events/2023/3/9/celebrate-pi-day-with-nasa/
• https://www.nasa.gov/content/cassini-spacecraft-uses-pi-transfer-to-navigate-path-around-saturn
• https://solarsystem.nasa.gov/missions/dawn/mission/toolkit/mission-timeline/#the-dawn-mission-has-ended
• https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S009457651931450X
• http://www.nast-group.caltech.edu/~murray/dgc05/upload/7/70/Cheng_maimone_matthies_smc_05.pdf
• https://numberwarrior.wordpress.com/2008/12/03/on-the-ancient-babylonian-value-for-pi/

Autor

Krzysztof Kurdyła

W Nauka. To Lubię pisze o statkach kosmicznych, orbitach i zdobywaniu Układu Słonecznego. Stara się odpowiedzieć na pytanie czy podbój kosmosu to bardziej romantyczna przygoda, czy coś z pogranicza thrillera i horroru. Czy nosi ze sobą ręcznik i dziwną, cyfrową książkę? Być może.

Więcej od tego autora