Dzień liczby Pi – ile wynosi i jak obliczać?

14 marca to dzień liczby Pi, czyli tej liczby, która występuje chociażby we wzorach na obwód, pole powierzchni koła czy objętość kuli. Ile wynosi liczba Pi i co to za liczba? O tym w dzisiejszym materiale.

Ile wynosi liczba Pi?

3, 14 – tyle wynosi liczba Pi w przybliżeniu. Dla bardziej wtajemniczonych: 3,1416. Liczba Pi jest liczbą niewymierną, a to znaczy, że nigdy nie poznamy jej dokładnej czy pełnej wartości. Skąd się wzięła? Jest to wynik dzielenia obwodu koła przez jego średnicę i to niezależnie od tego, jak duże czy małe koło weźmiemy. Zawsze dostaniemy ten sam wynik. Zresztą bardzo łatwo to można sprawdzić eksperymentalnie.

Eksperyment

Bierzemy koło, na tym kole zaznaczamy promień i mierzymy. Obliczenie obwodu w taki sposób z linijką jest w zasadzie niemożliwe. Można to zrobić za pomocą sznurka, którego jeden koniec przyklejamy np. do blatu. No i liczymy i mierzymy.

To teraz się zmierzymy ten obwód. Pomiar nie jest doskonały, bo sznurek się lekko naciągana, ale sprawdźmy to. Obwód tego koła wynosi 67 cm. Zaznaczam tutaj też promień: 10,6 cm. Obwód 67 cm, promień 10,6 cm, czyli średnica będzie 21,2 cm. Dzielimy jedno przez drugie i wychodzi 3,16. To jest przybliżenie liczby Pi. Tak jak wspominałem – ta metoda nie jest doskonała, bo sznurek się naciąga i przy mierzeniu obwodu mogło się coś przesunąć.

Historia liczby Pi

Istnienie tej liczby, a w zasadzie tej stałej, podejrzewali już starożytni. Kolejne pokolenia naukowców – matematyków – próbowały ją poznać bliżej aż doszliśmy do momentu, w którym trzeba było zatrudnić do jej obliczania, wyliczania czy szacowania superkomputery. Liczba Pi to w pewnym sensie „magiczna” liczba. Element takiego naturalnego ładu. Ilekroć próbujemy w matematyczny sposób przybliżać rzeczywistość, np. budowli, ich proporcji, pojawia się tam właśnie liczba Pi lub jakieś jej przybliżenie.

Odniesienia do liczby Pi znajdziemy w Starym Testamencie, a jej wartość jest wpisana chociażby w proporcje piramidy Cheopsa. Wielkie zainteresowanie liczbą Pi przejawiali np. starożytni Babilończycy. Fakt, że to z terenów Mezopotamii właśnie pochodzą pierwsze znaleziska koła, myślę, że nie jest tutaj bez znaczenia. Na poważnie dokładnymi obliczeniami jej przybliżeń zajął się Archimedes (to ten od praw Archimedesa, określającego siłę wyporu).

Wykorzystanie liczby Pi

Symbol liczby Pi wprowadził do zapisu dopiero w 1706 roku William Jones, natomiast rozpropagował go nieco później sławny Leonard Euler.

Wzór na obwód okręgu

Pierwszy i chyba najprostszy wzór z liczbą Pi to wzór na obwód okręgu: L=2πr. Obwód można oczywiście zmierzyć (tak, jak ja zmierzyłem nitką, ale to jest dość niewygodne szczególnie wtedy, kiedy koło jest duże). Nie muszę tego dodawać (ale dodam) – jeżeli obwód chcemy otrzymać w metrach, promień też powinien być podany w metrach.

Wzór na pole powierzchni koła

Kolejny wzór z liczbę Pi to oczywiście wzór na pole powierzchni koła. L=πr², gdzie „A” to jest właśnie pole powierzchni (chociażby w metrach kwadratowych), „r” to jest promień wyrażony w metrach, a Pi to stała w przybliżeniu 3,14. Jaką powierzchnię ma moje koło? Wystarczy znać promień i wszystko jasne właśnie dzięki liczbie Pi. Ten promień to było 10,6 cm, więc z wzoru πr² wybierzemy 352,8 cm². Próbuję się zastanowić, jakim innym sposobem można by policzyć pole powierzchni takiego koła. Każdy inny sposób byłby dużo bardziej skomplikowany. Dzięki liczbie Pi jest to rzeczywiście łatwe.

Wzór na objętość

Przed chwilą wspomniałem, że na poważnie dokładnymi obliczeniami bliżej zajął się Archimedes. Zajmował się siłami wyporu i potrzebował dokładnego określenia objętości, np. zanurzonych w wodzie kul. Objętość dzięki bardzo łatwo obliczyć. Tak jak zresztą obwód czy pole powierzchni, znając wzór: V=4/3πr³. „V” to jest objętość, np. w metrach sześciennych, „r” to jest promień w metrach, jeżeli chcemy otrzymać objętość w metrach sześciennych, i Pi to jest 3,14. Wzorów, w których występuje liczba Pi jest bardzo dużo. Nie będę ich wszystkich omawiał.

Najpiękniejszy wśród wzorów

Jeden wzór jednak koniecznie chcę pokazać. Tzw. wzór Eulera: e^iπ + 1 = 0. Według regularnie przeprowadzanych rankingów, jest to jeden z najpiękniejszych, najładniejszych wzorów matematycznych czy formuł matematycznych. Co w nim jest takiego pięknego? Ci, którzy głosują, najczęściej mówią o jego prostocie i elegancji. W jednym wzorze znajdują się dwie podstawowe matematyczne.

Czyli jest liczba Pi jest liczba „e”, czyli podstawa logarytmu naturalnego (wynosi 2,72 – też w przybliżeniu). Jest potęgowanie, dodawanie, mnożenie jest „0”, czyli symbol nicości, jest „1” – symbolicznie najważniejsza cyfra, intuicyjny początek rachunków. Do czego ten wzór jest wykorzystywany? Wykorzystywany jest w dziedzinie matematyki zwanej analizą zespoloną. Otwiera drzwi do teorii fraktali, teorii liczb, teorii przestrzeni Hilberta czy matematyki stosowanej.

Ile wynosi liczba Pi – rekord dokładności

Aktualny rekord dokładności zapisu liczby Pi to ponad 22 biliony cyfr po przecinku. Wynik pochodzi z listopada 2016 roku. Obliczenia, które pozwoliły osiągnąć taki wynik, czy taką dokładność, trwały łącznie ponad trzy miesiące i zostały wykonane przez jeden z superkomputerów. Taka dokładność to trochę w sumie sztuka dla sztuki. Do celów praktycznych wystarczy, gdy stała Pi jest wyliczana do 15 cyfr po przecinku.

Takie przybliżenie jest wykorzystywane chociażby przez amerykańską agencję kosmiczną NASA przy projektowaniu i przeprowadzeniu misji kosmicznych. Natomiast z taką dokładnością, czyli 15 miejsc po przecinku, liczbę Pi znamy już od kilkuset lat.

Zobacz też: Czy Polacy mają zaufanie do nauki i naukowców?

Autor

Tomasz Rożek

Z wykształcenia jestem fizykiem, a z zawodu dziennikarzem naukowym. Od lat tworzę markę Nauka. To Lubię, a dodatkowo kieruję działem naukowym w tygodniku Gość Niedzielny i współpracuję z wieloma mediami i redakcjami. Jestem szczęśliwym tatą bliźniaków: Zuzi i Janka oraz mężem Ani.

Więcej od tego autora